## Distance

Let $x, y$ be points on the real line, the distance between them is $|x-y|$

If $x = (x_1, x_2)$ and $y = (y_1, y_2)$ are points in the plane, the Euclidean distance between them is $\sqrt{(x_1- y_1)^2 +(x_2 - y_2)^2 }$

1. Definitions

A metric or distance function on a set $\Omega$ is an assignmen, to each pair of point $(x,y), \ x, y\in\Omega$, of a non-negative real number $d(x,y)$, such that for all $x, y, z\in\Omega$ we have

a) $d(x,x) = 0; \ \ \ d(x,y) > 0$ if $x\neq y$

b) $d(x,y) = d(y,x)$

c) $d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z)$

A set $\Omega$ on which a distance function is defined is called a metric space. The basic metric space will be the set of real numbers, to be denoted from now on by $\mathbb{R}$, and Euclidean p-space $\mathbb{R}^p$, the set of all p-tuples $(x_1,,x_2,\cdots,x_p)$ of real numbers. The metric on $\mathbb{R}^p$ is given by

When $p = 1$, we have $\mathbb{R}^p = \mathbb{R}$, and $d(x,y) = |x-y|$.

On any metric space there is a natural notion of convergence: If $x_1, x_2, \cdots$ is a sequence of point in $\Omega$, we say that the sequence coverges to $x$ if $d(x_n,x) \to 0$ as $n\to\infty$

The distance function and the convergence concept allow us to study the structure of various sets in a metric space.

For example, in $\mathbb{R}^2$ the set of points whose distance from the origin is less than $r$ is the interior of the circle of radius $r$ and center at $(0,0)$. In general, an open ball in a metric space $\Omega$ is a set of the form

where $x\in\Omega, \ \ r > 0$

The set-theoretic notation is standard, $B(x,r)$ is the set of points $y$ in $\Omega$ whose distance from $x$ is less than $r$. A closed ball is a set of the form

Let $E$ be a subset of the metric space $\Omega$, $E$ is said to be an open set if for every $x\in E$ there is an open ball $B(x,r)$ that is entirely contained in $E$, that is $B(x,r)\subseteq E$

For example, in $\mathbb{R}^2$, $E = \left\{(x,y) \ : \ 0 < x < 1, y > 2\right\}$ is the interior of an infinite rectangular strip and is therefore open. Intuitively, an open set is one that does not contain any of its boundary points.

Consider $E_1 = \left\{(x,y) \ : \ 0 < x < 1, y = 0\right\}$: $E_1$ is not open because an open ball in $\mathbb{R}^2$ with center at $(x,0)$ cannot lie entirely with $E_1$.

However, that $A = \left\{x\in\mathbb{R}: \ 0 is open, because in $\mathbb{R}$ an open ball is just an open interval: $B(x,r) = \left\{y\in\mathbb{R}\ : \ |x-y| < r \right\}$

If $x_1,x_2,\cdots$ is a sequence of points in $[a,b]$ and $x_n\to x$, must also be in $[a,b]$. If $E$ is a subset of the metric space $\Omega$, $E$ is said to be closed if whenever $x_1,x_2,\cdots$ is a sequence of points in $E$ converging to the point $x\in\Omega$, we must have $x\in E$

Let $C(x,r) = \left\{(x',y')\ : \ (x'-x)^2 + (y'-y)^2 \leq r^2\right\}$ be closed balls and the closed rectangular boxes $\left\{(x,y)\ : \ a \leq x \leq b, \ c\leq y \leq d\right\}$. In $\mathbb{R}$, the interval $(0,1]$ is not closed because the sequence of numbers $\frac{1}{n}$ converges to $0$, which is outside the interval.

Theorem: A set $E$ is open if and only if its complement $E^c$ is closed.

## Lattice Cryptography

Lattices in Computer Science http://www.cs.toronto.edu/~vinodv/COURSES/CSC2414-F11/index.html

## Lattices

Definition. Let $v_1,\cdots, v_n\in\mathbb{R}^m$ be a set of linearly independent vectors. The lattices L generated by $v_1,\cdots, v_n$ is the set of linear combinations of $v_1,\cdots, v_n$ with coefficients in $\mathbb{Z}$

A basis for L is any set of independent vectors that generates L. Any 2 such sets have the same number of elements

## ÜBCHI Cipher

ÜBCHI Cipher

Được người Đức sử dụng trong thế chiến thế giới thứ nhất (WWI), với nguyên lý là chuyển vị 2 cột với từ khóa cho trước. Bên A muốn gửi cho B một thông điệp đã được mã hóa với từ khóa cho trước.

Từ khóa (keyword)
Ví dụ bên A gửi cho bên B từ khóa "CRYPTOGRAPHY"

 C R Y P T O G R A P H Y 2 8 11 6 10 5 3 9 1 7 4 12

Các kí tự xuất hiện trong keyword được đánh số tương ứng theo bảng chữ cái. Bắt đầu từ A là 1, sau đó C là 2 (chỉ đánh số với kí tự xuất hiện), G là 3. Ở đây, để ý P xuất hiện 2 lần, thì ta sẽ đánh số từ trái sang. P bên phía trái là 6, thì khi sang P bên phải sẽ tăng lên 1 là 7. Tương tự với R lần lượt từ trái qua phải là 8 và 9. Y là 11 và 12.

Thông điệp (message).

A muốn gửi cho B dòng thông điệp sau: "YOU ARE VERY IMPORTANT TO ME".

Mã hóa (enciphering the message)

Bước 1: Sắp xếp các kí tự vào bảng keyword ở trên.

 C R Y P T O G R A P H Y 2 8 11 6 10 5 3 9 1 7 4 12 Y O U A R E V E R Y I M P O R T A N T T O M E

Sắp xếp các kí tự plain text vào bảng, tương ứng từ trái qua phải, từ trên xuống. Và để ý thấy cột 1, và 2 được tô màu.

Bước 2: Lấy các cột được đánh số tương ứng từ nhỏ đến lớn, sắp xếp lại vào bảng keyword.

 C R Y P T O G R A P H Y 2 8 11 6 10 5 3 9 1 7 4 12 R O Y P V T I E E N A T Y M O O E T R A U R M

Đưa các cột đuợc đánh số 1, 2, 3 ... xuống tương ứng theo hàng. (Như hình)

Bước 3: Tạo cipher text, lấy thứ tự từng cột được đánh số từ 1 đến 12. Sẽ được thông điệp  "EU RY IR AM TT PO NR OM EA VE YO T"

Vậy là ta đã mã hóa được thông điệp "YOU ARE VERY IMPORTANT TO ME" thành "EUR YIR AM TT PONROMEAV EY OT" với keyword là CRYTOGRAPHY.

## Abstract Algebra Course

Algebra is the language of modern mathematics. This course introduces students to that language through a study of groups, group actions, vector spaces, linear algebra, and the theory of fields.

http://www.extension.harvard.edu/open-learning-initiative/abstract-algebra

## How to change the DNS servers in Ubuntu

You might want to change the DNS servers if your ISP's servers can sometimes be slow or outdated

sudo gedit /etc/resolv.conf

and change or add the lines:

nameserver your_DNS1
nameserver your_DNS2

You can add as many lines like these, but two should be enough.
Test the used domain name servers careful!

#dns-nameserver 192.168.0.1
#dns-nameservers 192.168.0.1 192.168.0.2
#dns-search somedomain.org
#dns-domain 192.168.0.1

-----

Example: Change the DNS servers in Ubuntu to browse facebook.com in VietNam.

Change

nameserver 208.67.222.222
nameserver 208.67.220.220

## Chào thế giới

Blog mình bữa đang viết ngon lành, tự dưng bị sự cố mất hết bài viết. Chưa khắc phục được, nên đành ngồi viết lại vậy.

Bao nhiêu là bài mất sạch